Question

在楊輝三角形中，每一行除首末兩個數之外，其余每個數都等于它肩上的兩數之和．
（1）試用組合數表示這個一般規律；
（2）在數表中試求第n行（含第n行）之前所有數之和；
（3）試探究在楊輝三角形的某一行能否出現三個連續的數，使它們的比是3：4：5，并證明你的結論．
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　 1　1
第2行　　　　　　1　2　1
第3行　　　　　1　3　3　1
第4行　　　　1　4　6　4　1
第5行　　　1　5　10　10　5　1
第6行　　1　6　15　20　15　6　1．

Answer 1

分析：（1）從楊輝三角形中的數字看出，每一行除首末兩個數之外，其余每個數都等于它肩上的兩數之和，符合組合數的第二條性質；
（2）楊輝三角中第n行的所有數是二項展開式(1+x)n

=C

0 n

+C

1 n

x

+C

2 n

x2+…

+C

n n

xn的所有二項式系數的和，取x=1可得第n行的所有數字和為2ⁿ，然后利用等比數列求和；
（3）假設在楊輝三角形的某一行能出現三個連續的數，使它們的比是3：4：5，由此列兩個關于n和r的方程組，能夠解出對應的n和r的值，說明假設成立．

解答：解：（1）設表中任一不為1的數為

C

r n+1

，它肩上的兩個數分別為

C

r-1 n

，C

r n

，則有

C

r n+1

=C

r-1 n

+C

r n

；
（2）楊輝三角中第n行的所有數可以看做是二項展開式(1+x)n

=C

0 n

+C

1 n

x

+C

2 n

x2+…

+C

n n

xn的所有二項式系數的和，取x=1可得第n行的所有數字和為2ⁿ，所以數表中第n行（含第n行）之前所有數之和為1+2+2²+…+2ⁿ
=

1-2n+1

1-2

=2ⁿ⁺¹-1；
（3）設

C

r-1 n

：C

r n

：C

r+1 n

=3：4：5，
由

C r-1 n

C r n

=

3

4

，得

r

n-r+1

=

3

4

，即3n-7r+3=0  ①
由

C r n

C r+1 n

=

4

5

，得

r+1

n-r

=

4

5

，即4n-9r-5=0  ②
聯立①②解得n=62，r=27．
所以在楊輝三角形的某一行能出現三個連續的數

C

26 62

，C

27 62

，C

28 62

，使它們的比是3：4：5．

點評：本題考查了組合及組合數公式，考查了類比推理，解答此題的關鍵是明確楊輝三角中的每一行的數都是在n取不同值時的二項展開式的二項式系數，是基礎題．