Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值，求a的值；
（2）在滿足（1）的條件下，探究函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；如果有零點(diǎn)，請(qǐng)指出每個(gè)零點(diǎn)處于哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間，并說(shuō)明理由；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值得到f'（-1）=0，解方程即可；
（2）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值，發(fā)現(xiàn)極值都大于零，從而函數(shù)f（x）有零點(diǎn)且只有一個(gè)，又函數(shù)f（x）在[-2，-1]上連續(xù)，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)介于-2和-1之間．
（3）討論a的值，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=-1處取得極值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²+x+1f'（x）=3x²+4x+1
令f'（x）=3x²+4x+1=0解得x=-1，x=-

1

3

從上表可以看出f(x)極小值=

23

27

＞0 ，?f(x)極大值=1＞0，
所以函數(shù)f（x）有零點(diǎn)且只有一個(gè)
又函數(shù)f（x）在[-2，-1]上連續(xù)，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)介于-2和-1之間．
（3）f'（x）=3x²+2ax+1△=4a²-12=4（a²-3）
當(dāng)a²≤3，即-

3

＜a＜

3

時(shí)，△≤0，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)
當(dāng)a²＞3，即a＞

3

或a＜-

3

時(shí)，△＞0，解f'（x）=0得兩根為x1=

-a- a2-3

3

，x2=

-a+ a2-3

3

（顯然x₁＜x₂）
當(dāng)x∈（-∞，x₁）時(shí)f'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時(shí)f'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時(shí)f'（x）＞0
所以函數(shù)f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函數(shù)；
在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是減函數(shù)
綜上：當(dāng)-

3

＜a＜

3

時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞

3

或a＜-

3

時(shí)，函數(shù)f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函數(shù)；在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，屬于基礎(chǔ)題．