Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點，且

AF2

•

F1F2

=0，坐標原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點P（-1，0），較y軸于點M，若

MQ

=2

QP

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意可得出F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)，再由

AF2

•

F1F2

=0得出

AF2

⊥

F1F2

，從而可得出點A的坐標(

a2-2

，±

2

a

)，由此可得出AF₁所在直線方程為y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)，再由坐標原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|．建立方程，即可解出a的值，由此得橢圓的方程；
（II）由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x+1），求出點M的坐標，設出Q的坐標，代入向量

MQ

=2

QP

得到關于兩點M與Q的坐標的方程，解出點Q的坐標來，再由點Q在橢圓上，代入橢圓的方程即可得到直線的斜率k所滿足的方程，解出k的值，即可得直線l的方程

解答：解：（I）由題設知F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)
由于

AF2

•

F1F2

=0，則有

AF2

⊥

F1F2

，
所以點A的坐標為(

a2-2

，±

2

a

)，
故AF₁所在直線方程為y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)，…（3分）
所以坐標原點O到直線AF₁的距離為

a2-2

a2-1

(a＞

2

)，
又|OF1|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=

1

3

a2-2

，
解得a=2(a＞

2

)，
所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．…（5分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=k（x+1），則有M（0，k），
設Q（x₁，y₁），由于

MQ

=2

QP

，
∴（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），
解得x1=-

2

3

，y1=

k

3

…（8分）
又Q在橢圓C上，得

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1，
解得k=±4，…（10分）
故直線l的方程為y=4（x+1）或y=-4（x+1），
即4x-y+4=0或4x+y+4=0．  …（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了轉化的思想與方程的思想，判斷推理的能力及綜合利用直線與橢圓的有關知識解題，正確解答本題的關鍵是準確理解題意建立所引入的參數的方程求出參數的值，本部分題符號運算多，計算量大，要認真嚴謹計算