Question

已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，A（-3，4），B（6，-2）．C（4，6），D在AB上，且2AD=BD
（1）求

AB

的坐標(biāo)及|

1

2

BC

|；
（2）若

OE

=

OA

+

OB

，  

OF

=

OA

-

OB

，求

OE

•

OF

；
（3）求向量

DB

與

DC

夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知A，B，C的坐標(biāo)可直接求

AB

，

BC

，

1

2

BC

（2）由向量的加法及減法的坐標(biāo)表示可求

OE

=

OA

+

OB

，

OF

=

OA

-

OB

，代入向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解

OE

•

OF

（3）由已知可得，

DB

=2

AD

，利用向量的坐標(biāo)表示可求D的坐標(biāo)進(jìn)而可求

DB

，

DC

，代入向量的夾角公式cosθ=

DB • DC

| DB || DC |

即可求解

解答：解：（1）∵A（-3，4），B（6，-2），C（4，6）
∴

AB

=（6+3，-2-4）=（9，-6），

BC

=（4-6，6+2）=（-2，8）
∴

1

2

BC

=（-1，4）
（2）∵

OE

=

OA

+

OB

=（-3，4）+（6，-2）=（3，2），

OF

=

OA

-

OB

=（-9，6）
∴

OE

•

OF

=3×（-9）+2×6=-15
（3））∵D在AB上，且2AD=BD，設(shè)D（x，y）
∴

DB

=2

AD

∴（6-x，-2-y）=2（x+3，y-4）=（2x+6，2y-8）
∴

6-x=2x+6 -2-y=2y-8

，解可得x=0，y=2即D（0，2）
∴

DB

=（6，-4），

DC

=（4，4）
設(shè)

DB

，

DC

的夾角為θ，則cosθ=

DB • DC

| DB || DC |

=

8

52 ×4 2

=

26

26

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量的夾角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本知識(shí)