Question

P、Q、M、N四點都在中心為坐標原點，離心率e=,左焦點F（-1，0）的橢圓上，已知與共線，與共線，·=0，求四邊形PMQN的面積的最大值與最小值.

Answer 1

解析：橢圓方程為+y²=1.

∵·=0，PQ⊥MN.

設PQ的方程為ky=x+1,代入橢圓方程消去x得

（2+k²）y²-2ky-1=0.

設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂)，則

|PQ|=|y₁-y₂|

=

=

=.

(1)當k≠0時，MN的斜率為-,同理可得

|MN|=,

故四邊形面積S=|PQ||MN|=.

令u=k²+,則u≥2,即S==2(1-).

當k=±1時，u=2,S=.且S是以u為自變量的增函數，∴≤S＜2.

(2)當k=0時，MN為橢圓的長軸，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ||MN|=2.

綜合（1）(2)知，四邊形PQMN面積的最大值為2，最小值為.