Question

如圖所示，用一段長為20米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形雞圈ABCD，設AB＝x，矩形ABCD的面積為S．

(1)求S關于x的函數解析式，并指明函數的定義域；

(2)求函數S(x)的值域；

(3)試問該函數有最小值嗎？為什么？

Answer 1

答案：
解析：

解：∵AB＝x， 　　∴BC＝20－2x． 　　(1)S(x)＝AB·BC＝x(20－2x)＝－2x2＋20x． 　　由于矩形的各邊均為正數，則有 　　即0＜x＜10， 　　函數的定義域為(0，10)． 　　(2)∵S(x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，而函數的定義域為(0，10)， 　　∴當x＝5時，函數S(x)有最大值為50． 　　∴函數S(x)的值域為(0，50]． 　　(3)函數S(x)沒有最小值．當x很小時，由S(x)＝AB·BC＜20x， 　　故在(0，5]內S(x)隨x的值減小而減小，即函數S(x)沒有最小值． 　　思路分析：矩形的面積等于長與寬的積，由AB＝x，可由x表示BC，即可求得S(x)，在求定義域時要充分考慮到x的實際意義，求值域可利用配方法．