Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為3.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值(為坐標(biāo)原點(diǎn)).

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為3可求，然后利用離心率可求，結(jié)合的關(guān)系可得橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求，結(jié)合三角形面積公式及基本不等式可求的面積的最大值.

（1）因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)到直線的距離為3，

所以，解得或（舍）.

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，

所以，所以.

故橢圓的方程為.

（2）由題意可知直線的斜率不為0，

則可設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立，整理得，

則，，

從而.

故的面積.

設(shè)，則，故，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值2.