Question

已知各項均為非負整數的數列A₀∶a₀，a₁，…，a_n(n∈N^*)，滿足a₀＝0，a₁＋…＋a_n＝n．若存在最小的正整數k，使得a_k＝k(k≥1)，則可定義變換T，變換T將數列A₀變為數列T(A₀)∶a₀＋1，a₁＋1，…，a_k－1＋1，0，a_k+1，…，a_n．設A_i+1＝T(A_i)，i＝0，1，2…．

(Ⅰ)若數列A₀∶0，1，1，3，0，0，試寫出數列A₅；若數列A₄∶4，0，0，0，0，試寫出數列A₀；

(Ⅱ)證明存在唯一的數列A₀，經過有限次T變換，可將數列A₀變為數列；

(Ⅲ)若數列A₀，經過有限次T變換，可變為數列．設S_m＝a_m＋a_m+1＋…＋a_n，m＝1，2，…，n，求證a_m＝S_m－[](m＋1)，其中[]表示不超過的最大整數．

Answer 1

答案：