Question

已知函數(shù)f(x)=

4x

4x+2

（1）試求f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N*)的值；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的和，是否存在正實(shí)數(shù)k，使不等式knS_n＞4b_n對(duì)于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范圍，并證明；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=1，能得到f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1．由此規(guī)律求值即可

（2）由a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），知an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f（

1

n

）+f（0）（n∈N^*），由倒序相加法能得到an=

n+1

2

．
（3）由bn=2n+1•an，知bn=(n+1)•2n，由Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出S_n=n•2ⁿ⁺¹，要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0對(duì)于一切的n∈N^*恒成立，由此能夠證明當(dāng)k＞4時(shí)，不等式knS_n＞b_n對(duì)于一切的n∈N^*恒成立．

解答：（本小題滿分16分）
解：（1）∵f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=1
∴f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1．（5分）
（2）∵a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f（

1

n

）+f（0）（n∈N^*），②
由（1），知 f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，
∴①+②，得2a_n=n+1，
∴an=

n+1

2

．（10分）
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ，①
∴2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
即S_n=n•2ⁿ⁺¹，（12分）
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0對(duì)于一切的n∈N^*恒成立，
n=1時(shí)，k-2-2＞0成立，即k＞4．
設(shè)g（n）=kn²-2n-2，
當(dāng)k＞4時(shí)，由于對(duì)稱軸直線n=

1

k

＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函數(shù)f（x）在[1，+∞） 是增函數(shù)，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立，
即當(dāng)k＞4時(shí)，不等式knS_n＞b_n對(duì)于一切的n∈N^*恒成立 …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．解題時(shí)要注意倒序相加法、錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用．