Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，P是BC的中點，側面ACC₁A₁⊥底面ABC，且側棱AA₁與底面ABC所成的角為60°．
（Ⅰ）證明：直線A₁C∥平面AB₁P；
（Ⅱ）求直線AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接A₁B交AB₁于Q，則Q為A₁B中點，連接PQ，證出PQ∥A₁C后即可證出直線A₁C∥平面AB₁P；
（Ⅱ）取A₁C₁中點M，連B₁M、AM，則B₁M⊥A₁C₁，B₁M⊥平面ACC₁A₁．∠B₁AM為直線AB₁與平面ACC₁A₁所成的角． 再得出∠A₁AC為AA₁與平面ABC所成的角，即∠A₁AC=60°，在Rt△B₁MA中求解即可．
解答：（Ⅰ）解：連接A₁B交AB₁于Q，
則Q為A₁B中點，連接PQ，
∵P是BC的中點，∴PQ∥A₁C．…（4分）
∵PQ?平面AB₁P，A₁C?平面AB₁P，
∴A₁C∥平面AB₁P．     …（6分）
（Ⅱ）取A₁C₁中點M，連B₁M、AM，
則B₁M⊥A₁C₁．
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁B₁C₁．
∴B₁M⊥平面ACC₁A₁．
∴∠B₁AM為直線AB₁與平面ACC₁A₁所成的角．                   …（9分）
在正△A₁B₁C₁中，邊長為2，M是A₁C₁中點，∴．  …（10分）
∵面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴∠A₁AC為AA₁與平面ABC所成的角，即∠A₁AC=60°．               …（11分）
在菱形ACC₁A₁中，邊長為2，∠A₁AC=60°，M是A₁C₁中點，
∴AM²=2²+1²-2×2×1×cos120°=7，∴．…（12分）
在Rt△B₁MA中，，，從而．
∴．
∴直線AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正弦值為．                 …（14分）
點評：本題考查空間直線和平面平行關系的判定，線面角的定義及求解．考查空間想象能力、推理論證能力，計算能力．