Question

已知函數f(x)＝e^x－e^－x(x∈R且e為自然對數的底數).

(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性；

(2)是否存在實數t，使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0對一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)∵f(x)＝e^x－()^x，且y＝e^x是增函數，

y＝－()^x是增函數，所以f(x)是增函數.

由于f(x)的定義域為R，

且f(－x)＝e^－x－e^x＝－f(x)，

所以f(x)是奇函數.

(2)由(1)知f(x)是增函數和奇函數，

∴f(x－t)＋f(x²－t²)≥0對一切x∈R恒成立

⇔f(x²－t²)≥f(t－x)對一切x∈R恒成立

⇔x²－t²≥t－x對一切x∈R恒成立

⇔t²＋t≤x²＋x對一切x∈R恒成立

⇔(t＋)²≤(x＋)_min²

⇔(t＋)²≤0⇔t＝－.

即存在實數t＝－，

使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0對一切x都成立.