Question

【題目】已知f（x）=x（ + ），
（1）試判斷f（x）的奇偶性，
（2）求證f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x（ + ）=x

由2x﹣1≠0，可得x≠0，

則定義域關于原點對稱，

f（﹣x）=﹣x =﹣x =x =f（x），

則f（x）為偶函數

（2）證明：當x＞0時，2x＞1，即2x﹣1＞0，2x+1＞0，

則f（x）=x（ + ）＞0，

由f（x）為偶函數，即有f（﹣x）=f（x），

則x＜0時，f（x）＞0成立．

則對于x≠0的任何實數，都有f（x）＞0

【解析】（1）求出函數的定義域，再計算f（﹣x），與f（x）比較，即可判斷函數的奇偶性；（2）運用指數函數的單調性和f（x）的奇偶性即可證得f（x）＞0．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．