Question

利用導數求和：
（1）S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0，n∈N*）；
（2）S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ（n∈N*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）當x=1時，S_n易求；當x≠1時，對x+x²+x³++xⁿ=兩邊求導數可得答案．
（2）對（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ兩邊求導數后令x=1可得答案．
解答：解：（1）當x=1時，S_n=1+2+3+…+n=（n+1），
當x≠1時，∵x+x²+x³++xⁿ=，
兩邊對x求導，得S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=（）′=．
（2）∵（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ，
兩邊對x求導，得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1．
令x=1，得n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
即S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³++nC_nⁿ=n•2^n-1．
點評：本題主要考查導數的運算性質，屬中檔題．