Question

已知遞增的等比數列{a_n}滿足a₃=8，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．（ I）求數列{a_n}的通項公式；（ II）若b_n=log₂a_n+1，S_n是數列{b_n}的前n項和，求S₂₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，又a₃=8．故a₂+a₄=20．由此能夠推導出a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，由此能求出S₂₀．

解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，
∵a₃=8．
∴a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3=20 a1q2=8

，
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
又{a_n}是遞增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ．
∴a_n+1=2ⁿ⁺¹，
∵b_n=log₂a_n+1，
∴b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
∴S₂₀=2+3+4+5+…+21
=

20

2

(2+21)
=230．

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．