Question

（2014•達州一模）設函數f（x）=x²（e^x-1）+ax³
（1）當a=-

1

3

時，求f（x）的單調區間；
（2）若當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求出函數的導涵數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間，
（2）由于f（x）=x²（e^x-1）+ax³=x²（e^x-1+ax），令g（x）=e^x-1+axx∈[0，+∞），求其導數g′（x）=e^x+a，下面就a的值分類討論，利用導數工具研究函數的單調性和最值，即可得a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-

1

3

時，f(x)=x2(ex-1)-

1

3

x3f′（x）=2x（e^x-1）+x²e^x-x²=（2x+x²）（e^x-1）
令f′（x）＞0，得x＞0或-2＜x＜0；令f′（x）＜0，得x＜-2∴f（x）的單調遞增區間為（-2，0），（0，+∞）f（x）的單調遞減區間為（-∞，-2）…（4分）
（2）f（x）=x²（e^x-1）+ax³=x²（e^x-1+ax）
令g（x）=e^x-1+axx∈[0，+∞）g′（x）=e^x+a
當a≥-1時，g′（x）=e^x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上為增函數．
而g（0）=0，從而當x≥0時，g（x）≥0，即f（x）≥0恒成立．
若當a＜-1時，令g′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）
當x∈（0，ln（-a））時，g′（x）＜0，g（x）在（0，ln（-a））上是減函數，
而g（0）=0，從而當x∈（0，ln（-a））時，g（x）＜0，即f（x）＜0
綜上可得a的取值范圍為[-1，+∞）．…（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的最值，以及函數單調區間等有關基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．