Question

已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）若函數(shù)存在一個極大值和一個極小值，且極大值與極小值的積為，求的
值.

Answer 1

（Ⅰ）所求面積為. （Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ），    當時，，
，，所以曲線在處的切線方程為切線與軸、軸的交點坐標分別為，， 所以，所求面積為.
（Ⅱ）因為函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點，
所以，方程在內(nèi)存在兩個不等實根，
.  ，則
設為函數(shù)的極大值和極小值，
則，，
因為，，所以，，
即，，，
解得，，此時有兩個極值點，所以.
考點：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，直線方程，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值。
點評：典型題，本題屬于導數(shù)應用中的基本問題，（2）涉及方程實根的討論及研究，運用了韋達定理，輕聲道切線斜率，等于函數(shù)在切點的導函數(shù)值。