Question

（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）

過拋物線的對稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：⊥；

（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有

（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線

此時(shí) ①可得

證法1：

證法2：

(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有

將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立

證法2：如圖2，連接,則由可得

,所以直線經(jīng)過原點(diǎn)O，

同理可證直線也經(jīng)過原點(diǎn)O

又設(shè)則