Question

（13分）已知，三棱錐P-ABC中，側棱PC與底面成60⁰的角，AB⊥AC，BP⊥AC，AB=4，AC=3．

(1) 求證：截面ABP⊥底面ABC；(2）求三棱錐P-ABC的體積的最小值，及此時二面角A-PC-B的正切值．

Answer 1

(2)

證(1)：在三棱錐P-ABC中,∵ AB⊥AC, BP⊥AC，  ∴AC⊥平面ABP,
∴平面ABP⊥平面ABC． 
（2）．作PH⊥面ABC于H, 則H在AB上，連CH，則∠HCP=60⁰      
 當H與A重合時CH最短，棱錐的高PH=CHtan60⁰=CH最短
三棱錐P-ABC的體積V最小．此時，∠ACP=60⁰, PH=AP=3
V=，∵, AB⊥AC，∴．
作，連，由三垂線定理知，可知是二面角A-PC-B的平面角．
在中，PC=6,PA=,AD=．在中可得，二面角A-PC-B的正切值為