Question

已知動圓過定點，且與直線l：相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）設A（x，y）為軌跡C上一定點，經過A作直線AB、AC 分別交拋物線于B、C 兩點，若 AB 和AC 的斜率之積為常數c．求證：直線 BC 經過一定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設M為動圓圓心，過點M作直線l：的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|，由拋物線的定義知，
點M的軌跡是以為焦點，l：為準線的拋物線，從而求得其軌跡方程． 
（Ⅱ）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出BC的斜率，用點斜式求得BC的方程2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，再根據
AB 和AC 的斜率之積為常數c，得到，，可得BC的方程為，可得直線BC經過定點．
解答：解：（Ⅰ）設M為動圓圓心，設F，過點M作直線l：的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，其中為焦點，l：為準線，所以軌跡方程為y²=2px（p＞0）．
（Ⅱ）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
于是（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂），∴BC的斜率 ．
所以，直線BC的方程為，即2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0.，
所以，．
所以，直線BC的方程為．
即．  于是，直線BC經過定點．
點評：本題考查拋物線的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系的應用，用點斜式求直線的方程，求出直線BC的方程為，是解題的難點．