Question

已知函數f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數）．
（1）若a=1，求f（x）的單調增區間；
（2）若函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）若a＞0，設f（x）在區間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）通過a=1，化簡函數的表達式為分段函數，化簡為頂點式的二次函數，即可求f（x）的單調增區間；
（2）利用x的范圍，化簡函數，利用而成的開口方向，討論a的范圍下，利用函數f（x）在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）利用a＞0，以及函數的定義域，化簡f（x）為頂點式，然后求解在區間[1，2]的最小值為g（a），即可得到g（a）的表達式．

解答：解：（1）a=1時，f(x)=x2-|x|+1=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥0 (x+ 1 2 )2+ 3 4 ，x＜0

…（2分）
∴f（x）的單調增區間為（

1

2

，+∞），（-

1

2

，0）．…（4分）
（2）x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1
當a＞0時，

1

2a

≤1，即：a≥

1

2

．；…（6分）
當a=0時，f（x）=-x-1，不滿足條件；…（7分）
當a＜0時，

1

2a

≥2．不等式不成立．…（8分）
∴a的取值范圍為：a≥

1

2

．…（9分）
（3）由于a＞0，當x∈[1，2]時，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1
1⁰  0＜

1

2a

＜1即a＞

1

2

f（x）在[1，2]為增函數g（a）=f（1）=3a-2…（11分）
2⁰  1≤

1

2a

≤2即

1

4

≤a≤

1

2

時，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1…（13分）
3⁰  

1

2a

＞2即0＜a＜

1

4

時  f（x）在[1，2]上是減函數g（a）=f（2）=6a-3…（15分）
綜上可得  g(a)=

6a-3，0＜a＜ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

…（16分）

點評：本題考查二次函數的化簡，絕對值的函數的應用，分段函數指正的求法，考查轉化思想以及計算能力．