Question

【題目】已知m，n，s，t∈R+ ， m+n=2， + =9，其中m，n是常數，當s+t取最小值 時，m，n對應的點（m，n）是橢圓 =1的一條弦的中點，則此弦所在的直線方程 ．

Answer 1

【答案】x+2y﹣3=0
【解析】解：∵sm、n、s、t為正數，m+n=2， + =9， s+t最小值是 ，
∴（ + ）（s+t）的最小值為4．
∴（ + ）（s+t）=n+m+ + ≥m+n+2 =m+n+2 ，
滿足 時取最小值，
此時最小值為m+n+2 =2+2 =4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
設以（1，1）為中點的弦交橢圓 =1于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由中點從坐標公式知x1+x2=2，y1+y2=2，
把A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）分別代入x2+2y2=4，得
，
① ﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，
∴k= =﹣ ，
∴此弦所在的直線方程為y﹣1=﹣ （x﹣1），
即x+2y﹣3=0．
所以答案是：x+2y﹣3=0．