Question

已知函數f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

函數，且y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1，2）．
（1）求φ；
（2）求f（x）圖象的對稱中心；
（3）計算f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得A=2，ω=

π

4

，再利用y=f（x）過點（1，2）即可求得φ；
（2）由（1）可知，y=1-cos（

π

2

x+

π

2

）=1+sin

π

2

x，令

π

2

x=kπ可求得x，從而可得f（x）圖象的對稱中心；
（3）依題意，可求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，利用y=f（x）的周期為4及可求得答案．

解答：解：（1）y=Asin²（ωx+φ）=

A

2

-

A

2

cos（2ωx+2φ），
∵y=f（x）的最大值為2，A＞0，
∴

A

2

+

A

2

=2，A=2
又∵其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0，
∴

1

2

•

2π

2ω

=2，ω=

π

4

，
∴f（x）=1-cos（

π

2

x+2φ）．
又y=f（x）過點（1，2），
∴cos（

π

2

x+2φ）=-1，
∴

π

2

+2φ=2kπ+π，k∈Z，
∴2φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ+

π

4

，k∈Z．
又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
（2）∵φ=

π

4

，
∴y=1-cos（

π

2

x+

π

2

）=1+sin

π

2

x，
 令

π

2

x=kπ得：x=2k，
所以函數的對稱中心為（2k，1），k∈Z．
（3）∵f（x）=1+sin

π

2

x，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，
又y=f（x）的周期為4，2008=4×502
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=4×502=2008．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數的對稱中心，考查運用誘導公式化簡求值，屬于中檔題．