Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx的圖象過點（-4n，0），且f′（0）=2n（n∈N^*）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數列{a_n}滿足，且a₁=4，求數列{a_n}的通項公式；
（3）對于（2）中的數列{a_n}，求證：＜5．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數f（x）=ax²+bx的圖象過點（-4n，0），且f′（0）=2n建立關于a與b的方程組，解之即可；
（2）根據條件可得，然后利用疊加法可求出數列{a_n}的通項公式；
（3）利用放縮法將通項進行變形，然后利用裂項求和法進行求和，從而證得結論．
解答：解：（1）由f'（x）=2ax+b，∴解之得，
即；
（2）∵，
∴，
∴，由累加得，
∴；
（3）＜，當n=1時，顯然成立；
當n≥2時，＜5．
點評：本題主要考查了利用疊加法求解數列的通項公式，以及放縮法證明不等式，同時考查了計算能力，屬于中檔題．