Question

從數列{a_n}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數列，稱之為數列{a_n}的一個子數列．設數列{a_n}是一個首項為a₁、公差為d（d≠0）的無窮等差數列．
（1）若a₁，a₂，a₅成等比數列，求其公比q．
（2）若a₁=7d，從數列{a_n}中取出第2項、第6項作為一個等比數列的第1項、第2項，試問該數列是否為{a_n}的無窮等比子數列，請說明理由．
（3）若a₁=1，從數列{a_n}中取出第1項、第m（m≥2）項（設a_m=t）作為一個等比數列的第1項、第2項，試問當且僅當t為何值時，該數列為{a_n}的無窮等比子數列，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），由此可求出其公比q=

a2

a1

=3．
（2）設等比數列為{b_m}，其公比q=

a6

a2

=

3

2

，bm=a2qm-1=8d•(

3

2

)m-1，由題設a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d．再由反證法能夠推出該數列不為{a_n}的無窮等比子數列．
（3）①設{a_n}的無窮等比子數列為{b_r}，其公比

am

a1

=

b2

b1

=t（t≠1），得b_r=t^r-1，由此入手能夠推導出t是大于1的正整數．
②再證明：若t是大于1的正整數，則數列{a_n}存在無窮等比子數列．即證明無窮等比數列{b_r}中的每一項均為數列{a_n}中的項．綜上，當且僅當t是大于1的正整數時，數列{a_n}存在無窮等比子數列．

解答：解：（1）由題設，得a₂²=a₁a₅，即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），得d²=2a₁d，又d≠0，
于是d=2a₁，故其公比q=

a2

a1

=3．
（2）設等比數列為{b_m}，其公比q=

a6

a2

=

3

2

，bm=a2qm-1=8d•(

3

2

)m-1，
由題設a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d．
假設數列{b_m}為{a_n}的無窮等比子數列，
則對任意自然數m（m≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_m，
即(n+6)d=8d•(

3

2

)m-1，
得n=8(

3

2

)m-1-6，
當m=5時，n=8(

3

2

)5-1-6=

69

2

∉N*，與假設矛盾，
故該數列不為{a_n}的無窮等比子數列．
（3）①設{a_n}的無窮等比子數列為{b_r}，其公比

am

a1

=

b2

b1

=t（t≠1），得b_r=t^r-1，
由題設，在等差數列{a_n}中，d=

am-a1

m-1

=

t-1

m-1

，an=1+(n-1)

t-1

m-1

，
因為數列{b_r}為{a_n}的無窮等比子數列，
所以對任意自然數r（r≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_r，
即1+(n-1)

t-1

m-1

=tr-1，
得n=

tr-1-1

t-1

(m-1)+1=(tr-2+tr-3+t+1)(m-1)+1，
由于上式對任意大于等于3的正整數r都成立，且n，m-1均為正整數，
可知t^r-2+t^r-3+t+1必為正整數，
又d≠0，
故t是大于1的正整數．
②再證明：若t是大于1的正整數，則數列{a_n}存在無窮等比子數列．
即證明無窮等比數列{b_r}中的每一項均為數列{a_n}中的項．
在等比數列{b_r}中，b_r=t^r-1，
在等差數列{a_n}中，d=

am-a1

m-1

=

t-1

m-1

，an=1+(n-1)

t-1

m-1

，
若b_r為數列{a_n}中的第k項，則由b_r=a_k，得tr-1=1+(k-1)

t-1

m-1

，
整理得k=

tr-1-1

t-1

(m-1)+1=(tr-2+tr-3+t+1)(m-1)+1，
由t，m-1均為正整數，得k也為正整數，
故無窮等比數列{b_r}中的每一項均為數列{a_n}中的項，得證．
綜上，當且僅當t是大于1的正整數時，數列{a_n}存在無窮等比子數列．

點評：本題考查數列的綜合運用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，避免出錯．