Question

【題目】出租車幾何學是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創立的.在出租車幾何學中，點還是形如的有序實數對，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣，對于直角坐標系內任意兩點、定義它們之間的一種“距離”（“直角距離”）：，請解決以下問題：

（1）求線段（，）上一點到原點的“距離”；

（2）求所有到定點的“距離”均為2的動點圍成的圖形的周長；

（3）在“歐式幾何學”中有如下三個與“距離”有關的正確結論：

①平面上任意三點A，B，C，；

②平面上不在一直線上任意三點A，B，C，若，則是以為直角三角形

③平面上存在兩個不同的定點A，B，若動點P滿足，則動點P的軌跡是的垂直平分線

上述結論對于“出租車幾何學”中的直角距離是否還正確，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2（2）（3）①正確②錯誤③錯誤，見解析

【解析】

(1)根據“直角距離”的定義直接求解即可.

(2)設點到定點的“距離”為2,再根據定義任意兩點、間的“距離”分四種情況求解即可.

(3)直接證明或舉出反例判斷即可.

(1)易得線段上一點到原點的“距離”為

(2) 設點到定點的“距離”為2,則

1.當時, ,

此時為線段,

2.當時, ,

此時為線段,

3.當時, ,

此時為線段,

4.當時, ,

此時為線段,

易得圍成的圖形的形狀為以為頂點的正方形

故周長為.

(3)

①設,

則,，.

根據絕對值三角不等式可知,

同理.

故.

故成立.故①正確.

② 設,則,

,.

滿足,但,故②錯誤.

③設,則,

,滿足,但不在的垂直平分線上.故③錯誤.

綜上所述, ①正確②錯誤③錯誤