Question

已知g（x）=ln（e^x+b）（b為常數）是實數集R上的奇函數，當g（x）＞0時，有f(x)=lng(x)+

a

x

．
（1）求b的值；
（2）若函數f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義進行整理化簡是解決本體的關鍵，注意對數運算性質的靈活運用，指數運算性質的運用和變形，以及恒成立問題的處理方法；
（2）利用導數作為工具求解該函數在閉區間上的最值是解決本題的關鍵，根據該函數在何處取到最值列出關于a的方程達到求解a的目的．

解答：解：（1）∵g（-x）=-g（x）∴ln（e^-x+b）+ln（e^x+b）=0?（e^-x+b）（e^x+b）=1
?（e^-x+e^x）b+b²=0?（e^-x+e^x+b）b=0?b=0．
（2）由（1）知f(x)=lnx+

a

x

（x＞0），則f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

在[1，e]上，討論如下：
①當a＜1時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，其最小值為f（1）=a＜1，
這與函數在[1，e]上的最小值是

3

2

相矛盾；
②當a=1時，函數f（x）在（1，e]單調遞增，其最小值為f（1）=1，同樣與最小值是

3

2

相矛盾；
③當1＜a＜e時，函數f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，單調遞減，
在（a，e]上有f''（x）＞0，單調遞增，所以函數f（x）滿足最小值為f（a）=lna+1
由lna+1=

3

2

，得a=

e

．
④當a=e時，函數f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，單調遞減，其最小值為f（e）=2，還與最小值是

3

2

相矛盾；
⑤當a＞e時，顯然函數f（x）在[1，e]上單調遞減，其最小值為f(e)=1+

a

e

＞2，
仍與最小值是

3

2

相矛盾；綜上所述，a的值為

e

．

點評：本題考查函數奇偶性的運用，考查學生運用奇偶性定義進行未知數求解的思想和方法．考查函數的導數工具作用，考查學生運用導數解決函數的最值的思想和方法，考查學生運用分類討論思想和方法解題的能力．