Question

在一次數學考試中，第21題和第22題為選做題．規定每位考生必須且只須在其中選做一題．設4名考生選做每一道題的概率均為．
（1）求其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率；
（2）設這4名考生中選做第22題的學生個數為ξ，求ξ的概率分布及數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）設事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，進而分析可得，甲、乙2名學生選做同一道題的事件為“”，且事件A、B相互獨立，由互斥事件的概率計算方法，可得答案；
（2）根據題意，分析可得隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～，進而可得分步列，計算可得答案．
解答：解：（1）設事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，
則“甲選做第22題”為，“甲選做第22題”為，
進而可得，甲、乙2名學生選做同一道題的事件為“”，且事件A、B相互獨立．
∴=；
（2）隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～．
∴
∴變量ξ的分布列為：
（或）．
點評：本題考查對立事件、相互獨立事件、互斥事件的概率的計算及分步列的運用，有一定的綜合性，需要加強學生的這方面的訓練．