Question

如圖2-3-14,已知⊙O是△ABC的外接圓,∠ACB =45°,∠ABC=120°,⊙O的半徑為1.

圖2-3-14

(1)求弦AC、AB的長;

(2)若P為CB延長線上的一點,試確定P點的位置,使得PA與⊙O相切,并證明你的結論.

Answer 1

思路分析:(1)要求AC,可在△AOC中求解,求AB,可在△AOB中求解.?

(2)要確定P的位置,只需求PB,可在△APB中求解,過P作PE⊥AB,則將斜三角形分解為直角三角形.

解:(1)過O作OD⊥AC于D,?

∵∠ABC=120°,則∠AOC=120°.?

又OA =OC,?

∴∠OAD =∠OCD=30°.?

在Rt△AOD中,cos∠OAD =,又OA =1,?

∴AD =OA·cos30°=.∴AC =2AD =.?

在△AOB中,OA =OB =1,∠AOB =2∠ACB =90°,∴.?

(2)過P作PE⊥AB于E,設BE =a,?

∵∠ABP =180°-∠ABC =60°,?

∴∠BPE =30°.∴BP =2BE =2a.?

在Rt△BPE中,PE = =.?

∵PA切⊙O于A,∴∠OAP =90°.?

∵∠OAB =45°,∴∠PAE =45°.?

在Rt△PAE中,AE =PE =,?

又∵AE +EB =AB =,?

∴,解得.?

∴PB =2a =-.