Question

拋物線y=x²-4x-3及其在點A（1，0）和點B（3，0）處的切線所圍成圖形的面積為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：導數的綜合應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：欲求切線的方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合A（1，0），B（3，0）都在拋物線上，即可求出切線的方程，然后可得直線與拋物線的交點的坐標和兩切線與x軸交點的坐標，最后根據定積分在求面積中的應用公式即可求得所圍成的面積S即可．

解答： 解：對y=x²-4x-3求導可得，y′=2x-4
∴拋物線y=x²-4x-3及其在點A（1，0）和B（3，0）處的兩條切線的斜率分別為-2，2
從而可得拋物線y=x²-4x-3及其在點A（1，0）和B（3，0）處的兩條切線方程分別為
l₁：2x+y-2=0，l₂：2x-y-6=0
由

y=2x-2 y=-2x+6

，求得交點C（2，2）．
所以S=S_△ABC-

∫

3 1

（x²-4x-3）dx=

2

3

．

故答案為：

2

3

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、定積分在求面積中的應用等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．