Question

已知經過點A（－4，0）的動直線l與拋物線G：相交于B、C，當直線l的斜率是時，．
（Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）設線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：該題考察拋物線的方程、韋達定理、直線和拋物線的位置關系、向量等基礎知識，考察數形結合、綜合分析和解決問題能力、基本運算能力，（Ⅰ）求直線的方程：，和拋物線聯立，得
設，代入 向量式中，得，然后聯立
可得∴，∴拋物線方程為；（Ⅱ）設直線的方程：，，線段的中點，將與聯立，可得，因為直線與拋物線交與兩點，所以，可得或，再表示中點，進而可求線段的中垂線方程，令，可得其在軸的截距，求其值域即可.
試題解析：(1)設，由已知k₁＝時，l方程為
即x＝2y－4．
由得
∴
又∵
∴                                                     5分
由p＞0得∴，即拋物線方程為：．
(2)設l：，BC中點坐標為
由得：①
∴x₀＝＝2k，y₀＝k(x₀＋4)＝2k²＋4k．
∴BC的中垂線方程為y?2k²?4k＝?(x?2k)
∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b＝2k²＋4k＋2＝2(k＋1)²
對于方程①由△＝16k²＋64k＞0得：或．
∴                                          12分