Question

設點動圓P經過點F且和直線相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線W。

（1）求曲線W的方程；

（2）過點F作互相垂直的直線，分別交曲線W于A，B和C，D。求四邊形ABCD面積的最小值。

（3）分別在A、B兩點作曲線W的切線，這兩條切線的交點記為Q。

求證：QA⊥QB，且點Q在某一定直線上。

Answer 1

解：（1）過點P作PN垂直于直線于點N，依題意得

                                      

所以動點P的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線。

即曲線W的方程是

（2）依題意，直線l₁,l­­_­2的斜率存在且不為0，

設直線l₁的方程為

由l₁⊥l₂得l­­_­2的方程為

將

 

設

∴

同理可得

∴四邊形ABCD的面積

當且僅當

故四邊形ACBD面積的最小值是72。

（3）由（1）知W的方程可化為

∴

∵QA的斜率

∴

∴QA⊥QB

QA的方程為

QB的方程為

解方程組

即Q（2k，）

當k取任何非零實數時，點Q總在定直線y=上。