Question

已知f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2 x2-2x．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件，f（0）=0，設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），所以有f（-x）=2x2+2x=-f（x），這樣即可求出x在（-1，0）上的解析式，從而得出f（x）在（-1，1）上的解析式f（x）=

2x2-2x x∈(0，1) 0 x=0 2x2+2x x∈(-1，0)

；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷2x2-2x在（0，1）上的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性求出該函數(shù)在（0，1）上的值域，根據(jù)奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可求出f（x）在（-1，0）上的值域，又x=0時(shí)，y=0，從而求出f（x）在（-1，1）上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)，f（0）=0；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1），f(-x)=2x2+2x=-f(x)；
∴f(x)=-2x2+2x；
∴f(x)=

2x2-2x x∈(0，1) 0 x=0 -2x2+2x x∈(-1，0)

；
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)=2x2-2x在（0，1）上單調(diào)遞減；
∴f(x)∈(

1

2

，1)；
∵f（x）為奇函數(shù)，∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，∴f(x)∈(-1，-

1

2

)；
設(shè)y=f（x）；
∴綜上所述：f（x）的值域?yàn)椋?span id="ge0caqw" class="MathJye">{y|-1＜y＜-

1

2

或y=0或

1

2

＜y＜1}．

點(diǎn)評(píng)：考查奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，f（0）=0，已知x∈（0，1）上的解析式求x∈（-1，0）上解析式的方法：設(shè)x∈（-1，0），-x∈（0，1），將-x帶入f（x）在（0，1）上的解析式，然后根據(jù)f（x）為奇函數(shù)f（-x）=-f（x），從而求出f（x），以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值域，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的值域的特點(diǎn)．