Question

【題目】對于函數 ，我們把使 的實數 叫做函數 的零點，且有如下零

點存在定理：如果函數 在區間 上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數 在區間 內有零點．給出下列命題：

①若函數 在 上是單調函數，則 在 上有且僅有一個零點；

②函數 有 個零點；

③函數 和 的圖像的交點有且只有一個；

④設函數 對 都滿足 ，且函數 恰有 個不同的零點，則這6個零點的和為18；

其中所有正確命題的序號為________．(把所有正確命題的序號都填上)

Answer 1

【答案】②④

【解析】函數 在 上是單調函數，則 在 上有且僅有一個零點是錯誤的；，例如 在是單調函數，但其函數值恒大于0，無零點；

函數 有3個零點正確；由于 ，可解得函數 在區間 與 上是增函數，在 是減函數，故函數存在極大值 ，極小值 ，故函數有三個零點；

函數 和 圖象的交點有且只有一個是錯誤的，因為兩函數圖象的交點的橫坐標就是函數的零點，
其中 ，所以在直線右側，函數有兩個零點．一個在 內，一個在 內，故函數

共有3個零點，即函數 和 的圖象有3個交點．
④設函數 對 都滿足 ，且函數 恰有 個不同的零點，則這6個零點的和為18是正確的，由函數 對 都滿足，可得函數的圖象關于 對稱，又函數 恰有6個不同的零點，此6個零點構成三組關于 對稱的點，由中點坐標公式可得出這6個零點的和為18．
故答案為②④