Question

【題目】已知函數，有下列說法：

①函數對任意，都有成立；

②函數在上單調遞減；

③函數在上有3個零點；

④若函數的值域為，設是中所有有理數的集合，若簡分數（其中，為互質的整數），定義函數，則在中根的個數為5；

其中正確的序號是______（填寫所有正確結論的番號）.

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

畫出函數圖像，結合圖像，以及函數性質，對選項進行逐一分析.

根據函數解析式，畫出函數的圖像如下圖所示：

對①，因為，故成立，

則不成立，故①不正確；

對②，在內，函數在單調遞減，根據圖像可知，

函數的單調區間為，故②正確；

對③，在同一直角坐標系中畫出與的圖像：

由圖可知，兩函數有3個交點，故有三個零點，

故③正確；

對④，由圖可知，，故，

根據題意可得，解得，

又因為，且均為整數，

故是小于24，且是3的倍數，同時還滿足的自然數，

故由此得的取值如下：

，，；,，

合計5種可能.故在中根的個數為5.故④正確.

故答案為：②③④.