Question

【必做題】解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
某射擊運動員向一目標射擊，該目標分為3個不同部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6．擊中目標時，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．
（1）若射擊4次，每次擊中目標的概率為

1

3

且相互獨立．設ξ表示目標被擊中的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望E（ξ）；
（2）若射擊2次均擊中目標，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）依題意知ξ～B（4，

1

3

），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．
（2）設A_i表示事件“第一次擊中目標時，擊中第i部分”，i=1，2，B_i表示事件“第二次擊中目標時，擊中第i部分”，i=1，2．A=A1

.

B1

∪

.

A1

B1∪A₁B₁∪A₂B₂，由此能求出事件A發(fā)生的概率．

解答：解：（1）依題意知ξ～B（4，

1

3

），ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

數(shù)學期望Eξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．（或Eξ=np=

4

3

）．…5分
（2）設A_i表示事件“第一次擊中目標時，擊中第i部分”，i=1，2，
B_i表示事件“第二次擊中目標時，擊中第i部分”，i=1，2．
依題意，知P（A₁）=P（B₁）=0.1，P（A₂）=P（B₂）=0.3，
A=A1

.

B1

∪

.

A1

B1∪A₁B₁∪A₂B₂，…7分
所求的概率為
P（A）=P（A1

.

B1

）+P（

.

A1

B1）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂）
=P（A₁）P（

.

B1

）+P（

.

A1

）P（B₁）+P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）
=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3
=0.28．
答：事件A發(fā)生的概率為0.28．…10分．

點評：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望和分布列的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．