Question

【題目】已知橢圓上的點到它的兩個焦的距離之和為，以橢圓的短軸為直徑的圓經過這兩個焦點，點， 分別是橢圓的左、右頂點．

（）求圓和橢圓的方程．

（）已知， 分別是橢圓和圓上的動點（， 位于軸兩側），且直線與軸平行，直線， 分別與軸交于點， ．求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（）； ；（）見解析．

【解析】試題分析：

（1）根據橢圓定義知，又，因此易求得，得橢圓方程，從而也得到圓的方程；

（2）設出， ，分別代入橢圓方程和圓的方程得到兩個關系式，寫出直線AP的方程，求出M點坐標，同理寫出BP方程，求出N點坐標，再求得向量，并計算數量積，結果為0，可得．

試題解析：

（）依題意，得， ，

∴圓方程，橢圓方程．

（）設， ，

∴， ， ，

∵方程，令時， ，

方程為，令得，

∴， ，

∴，

∴．