Question

甲袋中裝有若干質(zhì)地、大小相同的黑球、白球，乙袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地、大小相同的黑球、紅球．某人有放回地從兩袋中每次取一球，甲袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每取到一黑球得1分，取得其它球得零分，規(guī)定他最多取3次，如果前兩次得分之和超過2分即停止取球，否則取第三次，取球方式：先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球，此人在乙袋中取到一個(gè)黑球的概率為0.8，用ξ表示他取球結(jié)束后的總分，已知P（ξ=1）=0.24
（1）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望；
（2）試比較此人選擇每次都在乙袋中取球得分超過1分與選擇上述方式取球得分超過1 分的概率的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)此人在甲袋中取到一個(gè)黑球的概率為p，然后根據(jù)P（ξ=1）求出p的值，然后分別求出ξ的取值為0，1，2，3時(shí)的概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；
（2）用A表示事件“該人選擇先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超過（1分）”，用B表示事件“該人選擇都在乙袋中取球，得分超過（1分）”然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出P（B）與P（A），從而得到它們的大小關(guān)系．
解答：解：（1）設(shè)此人在甲袋中取到一個(gè)黑球的概率為p，
則P（ξ=1）=（1-p）×0.8×0.2+（1-p）×0.2×0.8=0.24
P=0.25   …（2分）
依題意ξ的取值為0，1，2，3P（ξ=0）=（1-0.25）×（1-0.8）×（1-0.8）=0.03…（3分）
P（ξ=2）=0.25×（1-0.8）×（1-0.8）+0.75×0.8×0.8=0.49…（4分）
P（ξ=3）=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24…（5分）
Eξ=0×0.03+1×0.24+2×0.49+3×0.24=1.94…（7分）
（2）用A表示事件“該人選擇先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超過（1分）”
用B表示事件“該人選擇都在乙袋中取球，得分超過（1分）”則
P（A）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.49+0.24=0.73…（9分）
P（B）=0.8×0.8×0.2×3+0.8×0.8×0.8=0.896
故P（B）＞P（A）即該人選擇每次在乙袋中取球得分超過（1分）的概率大于該人選擇
先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超過（1分）的概率  …（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．