Question

已知f（x）=

ax2-x-5，        x＜0 b•2x-cx+3 ，     x≥0

若x₀＞0，且點(diǎn)A（x₀，f（x₀））關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在f（x）的圖象上，則稱x₀為f（x）的一個(gè)“靚點(diǎn)”．
（1）當(dāng)a=b=c=0時(shí)，求f（x）的“靚點(diǎn)”；
（2）當(dāng)a=0且b=1時(shí)，若f（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)“靚點(diǎn)”，求c的取值范圍；
（3）當(dāng)c=a+1且b=0時(shí)，若f（x）恒有“靚點(diǎn)”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據(jù)題中新定義的“靚點(diǎn)”可知，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ax²-x-5，其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱圖象的解析式為g（x）=-ax²-x+5，所以函數(shù)f（x）的“靚點(diǎn)”就是g（x）=-ax²-x+5（x＞0）與t（x）=b•2^x-cx+3（x＞0）這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）當(dāng)a=b=c=0時(shí)，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=3（x＞0）通過解方程組

y=-x+5 y=3

，即可得出函數(shù)f（x）的“靚點(diǎn)”；
（2）當(dāng)a=0且b=1時(shí)，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=2^x-cx+3（x＞0），此時(shí)函數(shù)f（x）的“靚點(diǎn)”即為方程-x+5=2^x-cx+3的正根，通過研究此方程有正根即可求出c的取值范圍；
（3）當(dāng)c=a+1且b=0時(shí)，g（x）=-ax²-x+5（x＞0），t（x）=-（a+1）x+3（x＞0），要想f（x）恒有“靚點(diǎn)”，則方程-ax²-x+5=-（a+1）x+3，即方程ax²-ax-2=0恒有正根．記h（x）=ax²-ax-2，通過對(duì)字母a的討論研究其圖象與性質(zhì)即可求出a的取值范圍．

解答：解：因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ax²-x-5，其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱圖象的解析式為g（x）=-ax²-x+5，所以函數(shù)f（x）的“靚點(diǎn)”就是g（x）=-ax²-x+5（x＞0）與t（x）=b•2^x-cx+3（x＞0）這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）當(dāng)a=b=c=0時(shí)，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=3（x＞0）…（2分）
由

y=-x+5 y=3

，解得x=2，所以函數(shù)f（x）的“靚點(diǎn)”為x=2 …（5分）
（2）當(dāng)a=0且b=1時(shí)，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=2^x-cx+3（x＞0），
此時(shí)函數(shù)f（x）的“靚點(diǎn)”即為方程-x+5=2^x-cx+3的正根 …（7分）
方程變形為2^x=（c-1）x+2，設(shè)y₁=2^x，y₂=（c-1）x+2
因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，y₁＜y₂，結(jié)合圖象知，要想f（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)“靚點(diǎn)”，
則當(dāng)x=1時(shí)，必須有y₁＞y₂，即2＞（c-1）+2，解得c＜1…（10分）
（3）當(dāng)c=a+1且b=0時(shí)，g（x）=-ax²-x+5（x＞0），t（x）=-（a+1）x+3（x＞0），
要想f（x）恒有“靚點(diǎn)”，則方程-ax²-x+5=-（a+1）x+3，
即方程ax²-ax-2=0恒有正根 …（12分）
記h（x）=ax²-ax-2，
①當(dāng)a=0時(shí)，方程無解，不適合題意…（13分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閔（0）=-2＜0，且h（x）的圖象是開口向上的拋物線，所以方程h（x）=0一定有正根，所以a＞0適合題意…（14分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，由

△=a2+8a≥0 - -a 2a ＞0

，解得a≥0或a≤-8，所以a≤-8…（15分）
綜上所述，a的取值范圍是a＞0或a≤-8 …（16分）
（說明：其它解法，仿此給分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查應(yīng)用所學(xué)函數(shù)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)