Question

【題目】如圖，在五面體中，底面為正方形， ，平面平面， .

(1)求證： ；

(2)若， ，求五面體的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：

（1）要證線線垂直，可先證線面垂直，已知有，因此只要再證，這可由面面垂直的性質定理得平面，從而得到結論；

（2）這個多面體可分拆為一個三棱錐和一個四棱錐，它們的高易作出，分別求出體積即可．

試題解析：

（Ⅰ）因為平面ABCD⊥平面CDEF，

平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AD⊥CD，

所以AD⊥平面CDEF，又CF平面CDEF，

則AD⊥CF．

又因為AE⊥CF，AD∩AE＝A，

所以CF⊥平面AED，DE平面AED，

從而有CF⊥DE．

（Ⅱ）連接FA，FD，過F作FM⊥CD于M，

因為平面ABCD⊥平面CDEF且交線為CD，FM⊥CD，

所以FM⊥平面ABCD．

因為CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE，

所以FM＝CM＝1，

所以五面體的體積V＝VF－ABCD＋VA－DEF＝＋＝．