Question

【題目】已知，函數．

（1）當時，寫出的單調遞增區間（不需寫出推證過程）；

（2）當時，若直線與函數的圖象相交于兩點，記，求的最大值；

（3）若關于的方程在區間上有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）

【解析】

（1）當時，，由此能求出的單調遞增區間;

（2）由，得當時，的圖象與直線沒有交點；當 或 時，y=f（x）的圖象與直線只有一個交點；當時，；當時，由，得，由，得，由此能求出的最大值;

（3）要使關于x的方程有兩個不同的實數根，則，且，根據，且進行分類討論能求出的取值范圍．

（1）當時，

在和單調遞增

（2）因為x＞0，所以

（ⅰ）當a＞4時，，函數的 ，

函數的圖像與直線y＝4沒有交點；

（ⅱ）當a＝4時， ，函數的最小值是4，

的圖象與直線只有一個交點；

當時， 與有1個交點，交點坐標，不滿足條件；

（ⅲ）當0＜a＜4時，

即

，

，

；

（ⅳ）當a＜0時，如圖：

由

得,

解得；

由，

得

解得.

所以.

綜上：的最大值是4.

（Ⅲ）要使關于的方程 （*）

當時，去絕對值得，解得，不成立，舍；

當時，去絕對值 ，

化簡為：，不成立，舍；

當時，，，也不成立，舍；

.

（ⅰ）當時，由（*）得，

所以，不符合題意；

（ⅱ）當時，由（*）得，其對稱軸，不符合題意；

（ⅲ）當，且時，

當時，，，

整理為：，不成立，

當時，

要使直線與函數圖像在內有兩個交點，

當時，，當時，

只需滿足 ，

解得：；①

當時

，

整理得： ，

若在區間方程有2個不等實數根，只需滿足

，

解得： ②，

綜上①②可知，的范圍是

綜上所述，a的取值范圍為.