Question

（本題滿分14分）
有三個(gè)生活小區(qū),分別位于三點(diǎn)處，且，. 今計(jì)劃合建一個(gè)變電站，為同時(shí)方便三個(gè)小區(qū)，準(zhǔn)備建在的垂直平分線
上的點(diǎn)處，建立坐標(biāo)系如圖，且.
(Ⅰ) 若希望變電站到三個(gè)小區(qū)的距離和最小，
點(diǎn)應(yīng)位于何處？
(Ⅱ) 若希望點(diǎn)到三個(gè)小區(qū)的最遠(yuǎn)距離為最小，
點(diǎn)應(yīng)位于何處？

Answer 1

(Ⅰ) 點(diǎn)為的中點(diǎn)  (Ⅱ)   

：在中,,則…1分
（Ⅰ）方法一、設(shè)(),點(diǎn)到的距離之和為
   …5分
,令即,又,從而
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), .
∴當(dāng)時(shí),取得最小值
此時(shí),即點(diǎn)為的中點(diǎn).        ……8分
方法二、設(shè)點(diǎn),則到的距離之和為
,求導(dǎo)得 ……5分
由即,解得
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
∴當(dāng)時(shí),取得最小值,此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn).               ……8分
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn),則,
點(diǎn)到三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為
①若即,則;
②若即,則;
∴   ……11分
當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),∴
當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),∴
∴當(dāng)時(shí), ,這時(shí)點(diǎn)在上距點(diǎn).…14分