Question

定義函數f(x)=

2cosx，(sinx＜cosx) 2sinx (sinx≥cosx)

，給出下列四個命題：①該函數的值域是[-2，2]；②該函數是以π為最小正周期的周期函數；③當且僅當x=2kπ-

π

2

(k∈Z)時該函數取得最大值2；④當且僅當2kπ-π＜x＜2kπ-

π

2

(k∈Z)時，f（x）＜0．上述命題中，錯誤命題的個數是（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據三角函數的圖象和性質，我們可以判斷出函數的f（x）的值域，進而判斷①的真假；判斷出函數的f（x）的周期，進而判斷②的真假；判斷出函數的f（x）的最大值及取最大值時自變量x的值，進而判斷出③的真假；求出函數的f（x）的值小于0時，自變量x的取值范圍，進而判斷出④的真假；最終得到答案．

解答：解：∵函數f(x)=

2cosx，(sinx＜cosx) 2sinx (sinx≥cosx)

，
由三角函數的圖象和性質可得：
函數f（x）的值域為[-

2

，2]，故①錯誤；
函數f（x）是以2π為最小正周期的周期函數，故②錯誤；
函數f（x）在x=2kπ或x=2kπ+

π

2

(k∈Z)時該函數取得最大值2，故③錯誤；
函數f（x）在2kπ-π＜x＜2kπ-

π

2

(k∈Z)時，f（x）＜0，故④正確
故選C

點評：本題考查的知識點分段函數的解析式求法及其圖象的作法，函數的值域，函數的周期性，函數的最值，其中熟練掌握三角函數的圖象和性質，是解答本題的關鍵．