Question

（2000•上海）在xoy平面上有一點列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），P₃（a₃，b₃），…，P_n（a_n，b_n），…，對每個自然數n，點P_n位于函數y=2000(

a

10

)x，（0＜a＜10）的圖象上，且點P_n、點（n，0）與點（n+1，0）構成一個以P_n為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）求點P_n的縱坐標b_n的表達式；
（Ⅱ）若對每個自然數n，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設Cn=lg(bn)，n∈N*，若a取（Ⅱ）中確定的范圍內的最小整數，問數列{C_n}前多少項的和最大？試說明理由．（lg2=0.3010，lg7=0.8450）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于三角形為等腰三角形，所以點P_n（a_n，b_n）在兩點（n，0）與（n+1，0）連線的中垂線上，結合點P_n（a_n，b_n）在函數y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）的圖象上，可得結論；
（Ⅱ）根據函數y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）是單調遞減，可得對每一個自然數n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，進而由b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形，可得b_n+2+b_n+1＞b_n，由此可求a的取值范圍；
（Ⅲ）先確定數列{C_n}是一個遞減的等差數列，再根據當C_n≥0且C_n+1＜0時，數列{C_n}的前n項的和最大，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由于三角形為等腰三角形，所以點P_n（a_n，b_n）在兩點（n，0）與（n+1，0）連線的中垂線上，
從而a_n=n+

1

2

，又因為點P_n（a_n，b_n）在函數y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）的圖象上，所以b_n=2000（

a

10

）n+

1

2

；
（Ⅱ）∵函數y=2000(

a

10

)x（0＜a＜10）是單調遞減，∴對每一個自然數n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，
又因為以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形，所以b_n+2+b_n+1＞b_n，從而(

a

10

)2+(

a

10

-1)＞0
∵0＜a＜10，∴5（

5

-1）＜a＜10
（Ⅲ）∵5（

5

-1）＜a＜10，∴a=7，∴bn=2000(

7

10

)n+

1

2

，
于是Cn=lg[2000(

7

10

)n+

1

2

]=3+lg2+(n+

1

2

)lg0.7
∴數列{C_n}是一個遞減的等差數列．
因此，當且僅當C_n≥0且C_n+1＜0時，數列{C_n}的前n項的和最大．
由Cn=3+lg2+(n+

1

2

)lg0.7≥0得n≤20.8，
∴n=20．

點評：本題考查數列知識的綜合運用，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵，具有一定的難度