Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2ⁿ•a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用已知條件列出方程，求出數列的首項與公差，然后求數列{a_n}的通項公式；
（2）化簡b_n=2ⁿ•a_n，利用錯位相減法，直接求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設公差為d（d≠0），由S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比數列得，7a1+21d=70，(a1+d)2=a1(a1+5d)（d≠0）
解得a₁=1，d=3，∴a_n=3n-2…．（6分）
（2）由（1），Tn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-5)•2n-1+(3n-2)•2n∴2Tn=1×22+4×23+7×24+…+(3n-5)•2n+(3n-2)•2n+1
相減得，-Tn=2+3×22+3×23+…3•2n-(3n-2)•2n+1
=2+

12(1-2n-1)

1-1

-(3n-2)•2n+1
=（5-3n）•2ⁿ⁺¹-10
∴Tn=(3n-5)•2n+1+10…（12分）

點評：本題考查干錯事了的通項公式的求法，錯位相減法的應用，考查數列求和方法的應用，基本知識與基本方法的考查．