Question

如圖，長方體中，為中點.

（1）求證：；
（2）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由；
（3）若二面角的大小為，求的長.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）存在，且；（3）的長為.

試題分析：（1）以為原點，、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，并設，利用空間向量法證明，從而達到證明；（2）設點，求出 平面，利用平面轉化為，利用向量坐標運算求出知，從而確定點的坐標，最終得到的長；（3）設，利用空間向量法求出二面角的余弦值的表達式，再結合二面角為這一條件求出的值，從而確定的長度.
試題解析：（1）以為原點，、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，
設，則，，，，，
故，，，，
，；
（2）假設在棱上存在一點，使得平面，此時，
有設平面的法向量為，
平面，，，得，
取，得平面的一個法向量為，
要使平面，只要，即有，由此得，解得，即，
又平面，
存在點，滿足平面，此時；
（3）連接、，由長方體及，得，
，，
由（1）知，，由，平面，
是平面的一個法向量，此時，
設與所成的角為，得，
二面角的大小為，
，解得，即的長為.