Question

已知，，且直線與曲線相切．

（1）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）當時，求最大的正整數，使得對（是自然對數的底數）內的任意個實數 都有成立；

（3）求證：．

 

Answer 1

（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】（1）設點為直線與曲線的切點，則有．（*）

，． （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．……………………………2分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．

設，，

，當時，，則是增函數，

，是增函數，，．…………………5分

因此，實數的取值范圍是．………………………………………6分

（2）當時，，

，在上是增函數，在上的最大值為．

要對內的任意個實數都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．

，解得．

因此，的最大值為．………………………………………10分

（3）證明（法一）：當時，根據（1）的推導有，時，，

即．………………………………………………………11分

令，得，

化簡得，………………………………13分

．………………………14分

（法二）數學歸納法：當時，左邊=，右邊=，

根據（1）的推導有，時，，即．

令，得，即．

因此，時不等式成立．………………………………11分

（另【解析】
，，，即．）

假設當時不等式成立，即，

則當時,，

要證時命題成立，即證，

即證．

在不等式中，令，得

．

時命題也成立．………………………………………13分

根據數學歸納法，可得不等式對一切成立． …14分

本題主要考查函數的性質、導數運算法則、導數的幾何意義及其應用、不等式的求解與證明、數學歸納法等綜合知識，考查學生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創新意識．