Question

某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發生側翻，導致濃硫酸泄漏，對河水造成了污染．為減少對環境的影響，環保部門迅速反應，
及時向污染河道投入固體堿，1個單位的固體堿在水中逐漸溶化，水中的堿濃度f（x）與時間x（小時）的關系可近似地表示
為：f（x）=

2- x 6 - 6 x+3     0≤x＜3 1- x 6               3≤x≤6

，只有當污染河道水中堿的濃度不低于

1

3

時，才能對污染產生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時間有多長？
（2）第一次投放1單位固體堿后，當污染河道水中的堿濃度減少到

1

3

時，馬上再投放1個單位的固體堿，設第二次投放后水中堿濃度為g（x），求g（x）的函數式及水中堿濃度的最大值．（此時水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）

Answer 1

（1）由題意知

0≤x＜3 2- x 6 - 6 x+3 ≥ 1 3

或

3≤x≤6 1- x 6 ≥ 1 3

解得1≤x＜3或3≤x≤4，即1≤x≤4
能夠維持有效的抑制作用的時間：4-1=3小時．
（2）由（1）知，x=4時第二次投入1單位固體堿，顯然g（x）的定義域為4≤x≤10
當4≤x≤6時，第一次投放1單位固體堿還有殘留，
故g（x）=（1-

x

6

）+[2-

x-4

6

-

6

x-4+3

]=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

；
當6＜x≤10時，第一次投放1單位固體堿已無殘留，故
當6＜x≤7時，
g（x）=2-

x-4

6

-

6

x-4+3

=

8

3

-

x

6

-

6

x-1

；
當7＜x≤10時，g（x）=1-

x-4

6

=

5

3

-

x

6

；
所以g（x）=

11 3 - x 3 - 6 x-1 ，4≤x≤6 8 3 - x 6 - 6 x-1 ，6＜x≤7 5 3 - x 6 ，7＜x≤10

當4≤x≤6時，g（x）=

11

3

-

x

3

-

6

x-1

=

10

3

-(

x-1

3

+

6

x-1

)≤

10

3

-2

2

；
當且僅當

x

3

=

6

x-1

時取“=”，即x=1+3

2

（函數值與自變量值各1分）
當6＜x≤10時，第一次投放1單位固體堿已無殘留，
當6＜x≤7時，
g′（x）=

6

(x-1)2

-

1

6

=

(x+5)(7-x)

6(x-1)2

＞0，所以g（x）為增函數；
當7＜x≤10時，g（x）為減函數；故 g（x）_max=g（7）=

1

2

，
又

10

3

-2

2

-

1

2

=

289 - 288

6

＞0，
所以當x=1+3

2

時，水中堿濃度的最大值為

10

3

-2

2

．
答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時間為3小時；第一次投放1+3

2

小時后，水中堿濃度的達到最大值為

10

3

-2

2

．