Question

（08年福建卷理）（本小題滿分12分）

　　　如圖，橢圓的一個焦點是，O為坐標原點.

　　　（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角 

形，求橢圓的方程；

　   （Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F

任意轉動，恒有，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本 

知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力。滿分12分。

解法一：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，

因為△為正三角形，

              所以,

即

              因此，橢圓方程為

 

 (Ⅱ) 設

           () 當直線 與軸重合時，

           () 當直線不與軸重合時，

              設直線的方程為：

               整理得

               所以

               因為恒有，所以恒為鈍角.

               即恒成立.

             

                        

              又，所以對恒成立，

即對恒成立，

當時，最小值為0，

所以， ，

因為所以，即,

解得或(舍去)，即.

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.

解法二：

      (Ⅰ)同解法一.

      (Ⅱ) 解：()當直線垂直于軸時，

代人，.

因為恒有，，即，

           解得或(舍去)，即.

           () 當直線與不垂直于軸時，

           設直線的方程為代入.

           得，

           故

           因為恒有，

           所以，

           得恒成立。

          

                     

           由題意得對恒成立。

① 當時，不合題意；

           ② 當時，；

           ③ 當時，，

           解得或(舍去)，即，因此.

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為.