Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點到直線l：2x﹣y﹣1＝0的距離為．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點P（0，t）（t＞0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點，交x軸于點Q，若拋物線C上總存在點M（異于原點O），使得∠PMQ＝∠AMB＝90°，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x2＝y；（2）t≥1．

【解析】

（1）直接利用點到直線的距離公式計算得到答案.

（2）過點P（0，t）（t＞0）的直線l的方程設為y＝kx+t，聯立方程，利用韋達定理得到x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，且y1＝x12，y2＝x22，根據∠PMQ＝∠AMB＝90°，可得1，化簡得到答案.

（1）拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點（0，）到直線l：2x﹣y﹣1＝0的距離為，

可得，解得p，即拋物線的方程為x2＝y；

（2）過點P（0，t）（t＞0）的直線l的方程設為y＝kx+t，聯立x2＝y，可得x2﹣kx﹣t＝0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），可得k2+4t＞0，x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，且y1＝x12，y2＝x22，

設M（m，m2），Q（，0），

由∠PMQ＝∠AMB＝90°，可得1，化為m3﹣mt+m，①

1，即（m+x1）（m+x2）＝﹣1，化為m2+km﹣t+1＝0，②

由①②可得t＝k2m2，

由k2﹣4（1﹣t）≥0可得4（1﹣t）≤k2，

由于m≠0，m2＞0，可得0解得t≥1．