Question

【題目】數列： 滿足： ．記的前項和為，并規定．定義集合， ， ．

（Ⅰ）對數列： ， ， ， ， ，求集合；

（Ⅱ）若集合， ，證明： ；

（Ⅲ）給定正整數．對所有滿足的數列，求集合的元素個數的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據定義求出， ， ， ， ，比較可得．

（Ⅱ）由集合的定義可得是使得成立的最小的k，

所以.又因為 ，由此可證： ；

（Ⅲ）設集合，不妨設，

則由（Ⅱ）可知，

同理，且．所以可證． 因為，所以的元素個數．

試題解析：（Ⅰ）因為， ， ， ， ， ，

所以．

（Ⅱ）由集合的定義知，且是使得成立的最小的k，

所以.

又因為 ，

所以

所以．

（Ⅲ）因為，所以非空．

設集合，不妨設，

則由（Ⅱ）可知，

同理，且．

所以

．

因為，所以的元素個數．

取常數數列： ，并令，

則，適合題意，

且，其元素個數恰為．

綜上， 的元素個數的最小值為．